1/1*2*3+1/2*3*4+1/3*4*5++1/n(n+1)(n+2)=?

доброй ночи!

представим дробь

1/n(n+1)(n+2)   в виде суммы дробей a/n + b/(n+1) + c/(n+2)

к единому знаменателю и получим такой числитель

а(n+1)*(n+2) + b(n*(n+2) + c(n*(n+1) = a(n2+3n+2)+b(n2+2n)+c(n2+n) =

n2(a+b+c) + n(3a+2b+c) + 2a

числитель должен быть равен 1. данное условие должно выполняться при лююбом n. получаем, коэффиуиенты при n2 и n должны быть равны 0, а 2a = 1

a =1/2

a+b+c = 0

3a+2b+c = 0

вычитаем из второго уравнения первое и получаем равносильное уравнение

2a + b = 0. b = -1

c = 1/2

получаем, 1/n(n+1)(n+2) = 1/(2n) - 1/(n+1)+1/2(n+2)

n = 1   1/2 - 1/2 + 1/6

n = 2   1/4 - 1/3 + 1/8

n = 3   1/6 - 1/4 + 1/10

n = 4   1/8 - 1/5 + 1/12

сумма первых членов равна

1/4 - 1/10 + 1/12

n = 5 1/10 - 1/6 + 1/14

сумма пяти членов равна

1/4 -1/12 + 1/14 или равна 1/4 - 1/2(n+1) + 1/2(n+2)

покажем по индукции что начиная со второго сумма членов указанной последовательности вычисляется по формуле  1/4 - 1/2(n+1) + 1/2(n+2)

n = 1

по формуле получаем 1/4 - 1/2*3 + 1/ 2*4 = 1/4 - 1/6 + 1/8 = сумме первых двух членов. проверьте сами.

сумма первых четрёх членов равна   = формуле   1/4 - 1/2(n+1) + 1/2(n+2) с n = 4

покажем теперь, что если сумма первых k членов заданной последовательности вычисляется по формуле  1/4 - 1/2(k+1) + 1/2(k+2)

то и для суммы k+1 члена последовательности формула выполняется.

sk =  1/4 - 1/2(k+1) + 1/2(k+2) - сумма первых k членов последовательности.

sk+1 = sk + 1/(k+1)(k+2)(k+3) =

1/4 - 1/2(k+1) + 1/2(k+2) +  1/(2(k+1)) - 1/(k+1+1)+1/2(k+1+2) =

1/4 + 1/2(k+2) - 1/(k+2) + 1/(2(k+3)) = 1/4 - 1/2(k+2) + 1/2(k+3)

то есть формула верна и для суммы к+1 одного члена последовательности.

ответ: sn = 1/4 -1/2(n+1) +1/2(n+2)