Докажите, что нет такого рационального числа, квадрат которого равнялся бы 2. (если это не затруднительно, то как можно более подробно).

предположим, что существует какое-либо дробное число, при возведении которого в квадрат можно получить два: (p/q)^2  = 2. при этом эта дробь несократима.

запишем уравнение так:   p^2  /  q^2  = 2.

умножим обе части уравнений на  q^2, получим:   p^2= 2q^2.

выражение 2q^2  в любом случае должно быть четным, т.  к. выполняется умножение на 2.

значит,  p^2  тоже четно.

но известно, что квадрат нечетного числа дает нечетное число (например, 5^2  = 25), а квадрат четного – четное (4^2  = 16). поэтому  p  должно иметь четное значение.

если  p  четно, то его можно представить как  p  = 2^k. тогда получим: (2k)^2  = 2q^2. или 4k^2  = 2q^2.

сократим полученное уравнение и получим: 2k^2  =  q2.

поскольку в левой части уравнения результат будет четным (т. к. происходит умножение на 2), то и  q  должно быть четным, чтобы его квадрат был четным.

но вспомним,

если же и  p, и  q  четные числа, то образованную ими дробь можно сократить на 2. т. е. приходят к противоречию с условием и на этом основании делают вывод, что нет рациональной дроби, квадрат которой может быть равен 2.

1) у = (4х + 1)² + 6 график парабола веточками вверх. следовательно, наименьшее значение находится в вершине параболы. и равно у = 6.

2) у = 4х² + 4х + 4 → у = (4х² + 4х + 1) + 3 → у = (2х + 1)² + 3 парабола наиментшее значение в вершине параболы у = 3

3) у = 5х² - 5х   → у = 5х(х - 1) . уравнение имеет корни х1 = 0 и х2 = 1

вершина параболы находится в точке х = 1/2. при х = 1/2   у = -5/4 = -1,25