В треугольник с углами 30 °, 70 ° i 80 ° вписан круг. Найдите углы треугольника, вершины которого являются точками соприкосновения вписанной окружности
107
493
Ответы на вопрос:
Круг вписан в ΔАВС. ∟A = 30 °, ∟B = 70 °, ZC = 80 °. N, Е, Р - точки соприкосновения.
Найти: углы AN РЭ.
Решение:
Центр окружности, вписанной в треугольник, находится в точке пересечения биссектрис.
Итак, АО - биссектриса ∟BAC, тогда ∟NAO = ∟PAO = ∟BAC: 2 = 30 °: 2 = 15 °.
Аналогично ОВ - биссектриса ∟NBE, тогда ∟NBO = ∟OBE = ∟ABC: 2 = 70 °: 2 = 35 °
и ОС - биссектриса ∟ECP, тогда ∟PCO = ∟ECO = ∟PCE: 2 = 80 °: 2 = 40 °.
По условию О - центр вписанной окружности, тогда по свойству касательных к окружности,
имеем: ON ┴ АВ, ОЕ ┴ ВС, ОР ┴ АС.
ON - ОЕ = ОР - радиусы вписанной окружности.
Рассмотрим ΔANO i ΔAPO - прямоугольные ∟ANO = ∟APO = 90 °, ON = OP,
АО - общая сторона. Тогда по признаку piвностi прямоугольных треугольников имеем:
ΔANO = ΔАРО.
Отсюда ∟NOA = ∟POA = 90 ° - 15 ° = 75 °; ∟NOP = ∟NOA + ∟POA = 75 ° + 75 ° = 150 °.
Рассмотрим ΔNOP - равнобедренный (NO = ОР).
По свойству углов piвнобедреного треугольника имеем:
∟ONP = ∟OPN = (180 ° - 150 °): 2 = 15 °.
Аналогично ∟NOE = 110 °, ∟EOP = 100 °.
∟ENO = ∟OEN = (180 ° - 110 °): 2 = 35 °.
∟ENO = ∟OEN = (180 ° - 110 °): 2 = 35 °.
∟OEP = ∟OPE = (180 ° - 100 °): 2 = 40 °.
∟ENP = ∟PNO + ∟ONE, ∟ENP = 15 ° + 35 ° = 50 °.
∟NPE = ∟NPO + ∟OPE, ∟NPE = 15 ° + 40 ° = 55 °.
∟NEP = ∟NEO + ∟OEP, ∟NEO = 35 ° + 40 ° = 75 °.
Biдповидь: 50 °, 55 °, 75 °.
Найти: углы AN РЭ.
Решение:
Центр окружности, вписанной в треугольник, находится в точке пересечения биссектрис.
Итак, АО - биссектриса ∟BAC, тогда ∟NAO = ∟PAO = ∟BAC: 2 = 30 °: 2 = 15 °.
Аналогично ОВ - биссектриса ∟NBE, тогда ∟NBO = ∟OBE = ∟ABC: 2 = 70 °: 2 = 35 °
и ОС - биссектриса ∟ECP, тогда ∟PCO = ∟ECO = ∟PCE: 2 = 80 °: 2 = 40 °.
По условию О - центр вписанной окружности, тогда по свойству касательных к окружности,
имеем: ON ┴ АВ, ОЕ ┴ ВС, ОР ┴ АС.
ON - ОЕ = ОР - радиусы вписанной окружности.
Рассмотрим ΔANO i ΔAPO - прямоугольные ∟ANO = ∟APO = 90 °, ON = OP,
АО - общая сторона. Тогда по признаку piвностi прямоугольных треугольников имеем:
ΔANO = ΔАРО.
Отсюда ∟NOA = ∟POA = 90 ° - 15 ° = 75 °; ∟NOP = ∟NOA + ∟POA = 75 ° + 75 ° = 150 °.
Рассмотрим ΔNOP - равнобедренный (NO = ОР).
По свойству углов piвнобедреного треугольника имеем:
∟ONP = ∟OPN = (180 ° - 150 °): 2 = 15 °.
Аналогично ∟NOE = 110 °, ∟EOP = 100 °.
∟ENO = ∟OEN = (180 ° - 110 °): 2 = 35 °.
∟ENO = ∟OEN = (180 ° - 110 °): 2 = 35 °.
∟OEP = ∟OPE = (180 ° - 100 °): 2 = 40 °.
∟ENP = ∟PNO + ∟ONE, ∟ENP = 15 ° + 35 ° = 50 °.
∟NPE = ∟NPO + ∟OPE, ∟NPE = 15 ° + 40 ° = 55 °.
∟NEP = ∟NEO + ∟OEP, ∟NEO = 35 ° + 40 ° = 75 °.
Biдповидь: 50 °, 55 °, 75 °.
Реши свою проблему, спроси otvet5GPT
-
Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос -
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах -
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно
Популярно: Другие предметы
-
Відмінність між JK триггер і RS триггер...
alinana55406.04.2020 15:06 -
Про кого йдеться: Вона була ні гарна ні погана з себе. Важко...
innalemesh121.10.2020 23:52 -
Что сейчас находится в усадьбе харитонова - расторгуева....
AndrewGuyGuyson16.05.2020 02:14 -
Трудовые подвиги во время отечественной войны запишите именно...
Amanda17305.03.2020 13:31 -
Тема:придаточные предложения 0 и 1 типа...
Дошик13208.03.2021 08:18 -
Коли розпочалося формування концепції громадянського суспільства...
альбертино105.05.2023 13:47 -
с третимчетвертими пятым заранее...
Luiza303049914.11.2022 11:37 -
Сообщение о парниковом эффекте и о кислотных дождях...
znj93294znj9329409.02.2023 08:51 -
Количество видов сборочной единицы при выполнении сборочного...
yfbft22.09.2020 03:21 -
Максим,Остап,Пилип пішли до бібліотеки. Один з них надірвав сторінку....
Adamant081320.12.2021 06:47
Есть вопросы?
-
Как otvet5GPT работает?
otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса. -
Сколько это стоит?
Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны. -
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?
Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое! -
В чем отличия от ChatGPT?
otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.