Точки F i В - центры вписанной и описанной окружностей равнобедренного треугольника ABC соответственно (рис. 311). Они расположены на одинаковом

∆АВС - рівнобедрений, АВ = ВС.
F - центр вписаного кола, О - центр описаного кола. ОЕ = EF.
Знайти: кути ∆АВС.
Розв'язання:
F - центр вписаного кола. Отже, AF - бісектриса ∟BAC.
Нехай ∟EAF = ∟FAB = х, тоді ∟BAE = 2х.
Розглянемо ∆AFE - прямокутний (∟E = 90°).
За властивістю гострих кутів маємо: ∟EFA = 90° - х.
Розглянемо ∆АЕВ - прямокутний (∟E = 90°), ∟ABE = 90° - 2х.
За умовою О - центр описаного кола, тобто ОА = ОВ - радіуси описаного кола.
Розглянемо ∆ОАВ - рівнобедрений (ОА = ОВ).
За властивістю кутів рівнобедреного трикутника маємо: ∟ABO = ∟BAO.
Розглянемо ∆АЕВ - прямокутний (∟E = 90°).
∟ABE = 90° - 2х; ∟ABO = ∟BAO = 90° - 2х.
∟OAE = ∟OAB - ∟EAB; ∟OAE = 90° - 2х - 2х = 90° - 4х.
За умовою ОЕ = EF i AE ┴ OF. Отже, АЕ - медіана i висота.
Звідси маемо: ∆ОАF - рівнобедрений. ∟OAF = 2∟OAE = 180° - 8х.
За теоремою про суму кутів трикутника маємо:
∟OAF + ∟AFO + ∟FOA = 180°.
180° - 8x + 90° - x + 90° - x = 180°; 180° - 10х = 0; 10х = 180°; x = 18.
∟BAC = ∟BCA = 18° • 2 = 36°;
∟ABC = 180° - 2 • 36° = 180° - 72° = 108°.
Biдповідь: 36°, 36°, 108°.

ответ:   Масса Урана равна 14,3 масс Земли

Объяснение:   Дано:

Период обращения Луны Т1 = 27,3 суток

Радиус орбиты Луны а1 = 384 400 = 3,844*10^5 км

Период обращения Оберона T2 =13,5 суток  

Радиус орбиты Оберона а2 = 583500 км = 5,835*10^5 км

Масса Урана  - Му

Масса Земли  - Мз

Найти во сколько раз масса Урана  больше массы Земли  Му/Мз - ?

Обобщенный третий закон Кеплера справедлив для двух независимых систем, состоящих из центральных массивных тел и спутников, обращающихся вокруг них,  и имеет вид:

Т1² (М1 +m1)/Т2² (М2+ m2) = а1³/а2³,  здесь Т1 и Т2 – периоды обращения спутников вокруг центрального массивного тела; М1 и М2 - массы центральных массивных небесных тел; m1 и m2 – массы спутников, обращающихся вокруг центральных тел;  а1 и а2 – большие полуоси орбит спутников.

 Так как обычно массы спутников  малы в сравнении с массами центральных тел, вокруг которых спутники обращаются, то при расчете отношения масс центральных тел, массами спутников можно пренебречь. В этом случае из обобщенного третьего закона Кеплера следует, что  Му/Мз = Т1²* а2³/Т2²*а1³ =

27,3² * (5,835*10^5)³/13,5² * (3,844*10^5) ³ ≈ 14,3