События A1,A2,…,An несовместны и образуют полную группу; вероятности появления этих событий соответственно равны p1,p2

Решение:
Возможные значения величины Х по условию равны вероятности pi событий Ai; вероятность возможного значения pi, очевидно, также равна pi. Таким образом, X имеет следующее распределение:
X    P1    P2    …    Pn
P    P1    P2    …    Pn
Найдем математическое ожидание:
MX=p12+p22+…+pn2. (*)
Рассматриваемые события образуют полную группу, поэтому:
P1+p2+…+pn=1.
Из дифференциального исчисления известно, что если сумма независимых переменных постоянна, то сумма квадратов этих переменных имеет наименьшее значение в случае равенства переменных. Применительно к рассматриваемой задаче это означает: сумма (*), т. е. математическое ожидание М (X), имеет наименьшее значение, если вероятности всех событий, образующих полную группу, равны между собой, что и требовалось доказать.

ответ:   В Термезе полюс мира будет наблюдаться на высоте 35º.

Объяснение:  Северный полюс мира будет на высоте широты места наблюдения. В самом деле, если наблюдатель находится, например,  на северном полюсе, то широта его места нахождения +90°. А высота полюса будет так же +90°, так как полюс мира будет находиться в зените.  Таким образом, в Термезе полюс мира будет наблюдаться на высоте 35º.