Задумано несколько целых чисел. набор этих чисел и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10. а) на доске выписан набор -3, -1, 1,2, 3, 4, 6. какие числа были задуманы? б) для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 5 раз. какое наименьшее количество чисел могло быть задумано? в) для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа? \

а) если чисел выписано 7, то их было задумано 3. их не могло быть меньше (у двух чисел сумм выписывается всего 3), и не могло быть больше (у четырёх чисел сумм будет 15). нуля в наборе нет, а есть положительные и отрицательные числа. какое-то встречается один раз, а какое-то два. если отрицательное число одно, то положительных два, но тогда из них формируются три положительные суммы. значит, было два отрицательных числа и одно положительное число, равное 7. из отрицательных чисел может быть сформировано -5, чтобы в сумме с 7 получалось 2. сумма же отрицательных чисел равна -13. значит, это числа -8 и -5. а весь набор задуманных чисел был такой: -8, -5, 7. легко видеть, что этот вариант подходит.

б) пример с пятью числами: -2,-1,0,1,2. легко проверяется, что выписано будет 31 число, где ±3 появляется 2 раза, ±2 -- 4 раза, ±1 -- 6 раз, и 0 появится ровно 7 раз. четырёх различных чисел недостаточно. это легко проверяется, так как 0 сам по себе встречается не более одного раза, среди пар он встречается не более двух раз (пары с одинаковой суммой не пересекаются), среди троек не более одного раза (все их суммы различны), и как сумма всех чисел тоже не более одного раза -- итого получается меньше семи.

в) нет, не всегда. пусть задуманы числа 1, 2, -3. из них формируется набор чисел от -3 до 3 (без повторений). ясно, что если у всех задуманных чисел сменить знак, то получится то же самое, поэтому задуманы могли быть и числа -1, -2, 3.

№ 2:

назовите две последние цифры значения произведения:

111*222*333*444*555*666.

решение: преобразуем: 111*222*333*444*555*666=111*2*111*333*444*5*111*666=10*(111*111*333*444*111*666)

так как в произведении есть сомножитель 10, то последняя цифра равна 0. остается найти последнюю цифру произведения 111*111*333*444*111*666. сомножители 11 не меняют последнюю цифру произведения, так как оканчиваются на 1. остается найти последнюю цифру произведения 333*444*666.

333*444*666=**=*=, так как 3*4=12 и 2*6=12.

итак, последняя цифра 0, предпоследняя цифра 2.

ответ: 20