Решите уравнение cos^6(pi/4-x) + cos^6(pi/4+x) =o,5 60

Во-первых, разложим косинусы в сумму cos(pi/4 - x) = cos(pi/4)*cos(x) + sin(pi/4)*sin(x) = = 1/√2*cos x + 1/√2*sin x = 1/√2*(cos x + sin x) cos(pi/4 + x) = cos(pi/4)*cos(x) - sin(pi/4)*sin(x) = = 1/√2*cos x - 1/√2*sin x = 1/√2*(cos x - sin x) подставляем cos^6(pi/4-x) + cos^6(pi/4+x) =  1/2^3*(cos x+sin x)^6 + 1/2^3*(cos x-sin x)^6 = =  1/8*[(cos x+sin x)^6 + (cos x-sin x)^6] = 0,5 (cos x  + sin x)^6 + (cos x - sin x)^6 = 4 во-вторых, разложим сумму кубов [(cos x  +  sin x)^2 + (cos x  -  sin x)^2] *  [(cos x  +  sin x)^4 -  - (cos x  +  sin x)^2*(cos x  -  sin x)^2 + (cos x  -  sin x)^4] = 4 первая скобка cos^2 x + 2cos x*sin x + sin^2 x + cos^2 x - 2cos x*sin x + sin^2 x = = (cos^2 x + sin^2 x) + (2cos x*sin x - 2cos x*sin x) +  (cos^2 x + sin^2 x) = 2 вторая скобка (cos x+sin x)^4 - (cos x+sin x)^2*(cos x-sin x)^2 +  (cos x-sin x)^4 = = ((cos x+sin x)^2)^2 + ((cos x-sin x)^2)^2 -  (cos x+sin x)^2*(cos x-sin x)^2 = = (1+2cos x*sin x)^2 + (1-2cos x*sin x)^2 -  (1+2cos x*sin x)(1-2cos x*sin x) = = (1+sin 2x)^2 + (1-sin 2x)^2 - (1-sin^2 2x) =  1 + 2sin 2x + sin^2 2x + +  1 - 2sin 2x + sin^2 2x - 1 + sin^2 2x =  1 + 3sin^2 2x подставляем в уравнение 2(1 + 3sin^2 2x) = 4 1 + 3sin^2 2x = 2 3sin^2 2x = 1 sin^2 2x = 1/3 sin 2x = 1/√3 2x = (-1)^n*arcsin(1/√3) + pi*k x = (-1)^n*1/2*arcsin(1/√3) + pi/2*k

Прошу прощения, если решение слишком длинное. более короткого строгого доказательства я не нашёл.abc + ab + bc + ac + a + b + c = 164пусть a,b,c нечётные, тогда в левой части сумма 7 нечётных слагаемых, которая тоже нечётная и не может равняться чётному числу из правой части.  аналогично, если среди этих чисел одно или два нечётных, то в левой части одно или три нечётных слагаемых. значит, все эти числа чётные. пусть a=2a', b=2b', c=2c', где a',b',c' - какие-то натуральные числа. тогда уравнение будет выглядеть так: 8a'b'c'+4a'b'+4b'c'+4a'c'+2a'+2b'+2c'=164. сократим на 2, получим: 4a'b'c'+2a'b'+2b'c'+2a'c'+a'+b'+c'=82.  предположим, что a≥b≥c и   a'≥b'≥c'. докажем, что c'=1. действительно, пусть это не так. тогда a'≥b'≥c'≥2. причём если a'=b'=c'=2, равенство неверно: 4*8+8+8+8+2+2+2=62≠82. пусть a'=3, b'=2, c'=2, тогда левая часть равна 48+12+12+12+3+2+2=91> 82. тогда при других значениях a',b',c', таких, что a'≥b'≥c'≥2, левая часть тем более больше 82. при c'=1 уравнение примет вид: 4a'b'+2a'b'+2b'+2b'+a'+b'=81 или 6a'b'+3a'+3b'=81, 2a'b'+a'+b'=27. очевидно, что ровно одно из чисел a', b' нечётно. предполагая, что a'≥b', переберём возможные значения a', b'. при b'=1 2a'+a'=26, левая часть делится на 3, правая нет, противоречие. при b'=2 4a'+a'=25. a'=5. таким образом, получаем решение a=10, b=4, c=2. легко проверить, что при этих значениях равенство верно. тогда abc=80. при b'=3 6a'+a'=24, противоречие, 24 на 7 не делится. при b'≥4 2a'b'≥32, равенство заведомо не выполняется, так что перебирать нет смысла. вообще говоря, тройка (10,4,2) - не единственное решение уравнения. мы предположили, что a≥b≥c, но если это не так, остальные 5 троек (10,2,4), (2,4,10), (2,10,4), (4,10,2), (4,2,10) - также решения. тем не менее, во всех случаях произведение abc равно 2*4*10=80. это и будет ответом.