Восновании пирамиды лежит треугольник со сторонами 5, 6 та 8 см, а все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45°. вычислите объём пирамиды

как всегда, если ребра пирамиды равнонаклонены к основанию, то вершина пирамиды равноудалена от вершин основания и проектируется в центр описанной вокруг основания окружности. угол наклона 45 градусов, поэтому высота пирамиды равна радиусу описанной вокруг основания окружности (высота пирамиды, боковая сторона и этот радиус образуют равнобедренный прямоугольный треугольник).

таким образом, кажется, что для решения надо вычислить радиус описанной окружности для треугольника со сторонами 5,6 и 8. однако все оказывается проще : ))

есть способ, не затрагивающий извилин - вычислить площадь основания по формуле герона (все равно площадь нам нужна для вычисления объема), а затем радиус по известной формуле r = abc/4s. этот способ ничем не плох, если вы умеете эти формулы (включая герона) выводить.

но в данном случае - дело в том, что нам надо вычислить не радиус, а объем пирамиды, равный, как мы уже поняли 

v = r*s/3; (не забыли, высота пирамиды равна r :

отсюда v = abc/12; :

ответ v = 20;

А) длина l бокового ребра пирамиды равна: l = h/sinα = 6/(√2/2) = 6√2 см. б) площадь боковой поверхности.так как  боковое ребро образует угол 45 градусов с плоскостью основания, то половина диагонали основания равна высоте пирамиды: (d/2) = h = 6 см.сторона а основания (это квадрат) равна: а = 2*(d/2)*sin45° = 2*6*(√2/2) = 6√2 см. периметр основания р = 4а = 24√2 см. апофема а =  √(н² + (а/2)²) =  √(36 + 18) =  √54 = 3√6 см. sбок = (1/2)ра = (1/2)*24√2*3√6 = 72√3 см². в) объём пирамиды v = (1/3)soh = (1/3)a²h = (1/3)*72*6 = 144 см³.