Решить, . биссектрисы углов а и в при боковой стороне ав трапеции авсd пересекаются в точке f. биссектрисы углов с и d при боковой стороне cd пересекаются в точке g. найдите fg, если основания равны 16 и 30, боковые стороны
13 и 15.

я тут уже решал подобную столько раз, что не помню, когда был первый. я просто переношу решение оттуда:  

точки пересечения биссектрис - это центры окружностей, касающихся левой (или правой) стороны и обеих оснований. поэтому отрезок, соединяющий эти центры - часть средней линии : далее, если бы эти центры совпадали, то длина средней линии была бы равна полусумме боковых сторон, то есть 14. (в этом случае трапеция была бы "описана вокруг окружности", а у таких 4угольников суммы противоположных сторон равны). поэтому ответ (30 + 16)/2 - 14 = 9 :

(именно на это расстояние как бы раздвинуты вписаные окружности - пояснение такое :  

еще вариант решения, по сути - такой же

  обе точки пересечения биссектрис лежат на одинаковом расстоянии от оснований, это - центры окружностей, касающихся оснований. одна касается левого ребра 13, другая - правого 15. если точки касаний делят верхнее основание на отрезки x, у, z, то сразу ясно, что z - искомое расстояние. и есть 2 соотношения.

z+x+y = 16;

z+(13 - x)+(15 - y) = 30;

складываем и делим на 2.

z = 9

еще вариант решения - проводим специальную касательную к левой окружности (то есть - с центром в точке f), параллельную сd. легко видеть, что окружность с центром в f вписана в трапецию с основаниями (16 - z) и (30 - z), где z - искомое расстояние между центрами. далее - см. начало :