Длина диагонали равнобедренной трапеции равна 12, длина боковой стороны равна 4, синус угла при основании равен 0,9 вычислить где - острый угол между диагоналями трапеции.

как все любят усложнять :

этот угол  α/2 очевидно равен углу, который диагональ образует с большим основанием. (*)

поэтому по теореме синусов

4/sin(α/2) = 12/0,9; sin(α/2) = 0,3.

это все решение.

(*) обоснование этого простого факта - биссектриса острого угла между диагоналями перпендикулярна биссектрисе тупого угла между ними (биссектрисы смежных углов), а биссектриса тупого угла - это биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника, образованного большим основанием и двумя равными отрезками диагоналей. такая биссектриса перпендикулярна основанию, поэтому биссектриса смежного угла параллельна основанию, и угол между ней и диагональю равен углу между диагональю и основанием, как соответственные углы между параллельными и секущей. 

все это долго записывается, но соображается моментально : )