Втреугольнике abc медиана bm, точка k лежит на стороне bc, при чем bk: kc=1: 2. прямые ak и bm пресекаются в точке o. найти отношение площади треугольника bok к площади треугольника abc

Первый вопрос, который надо выяснить - в каком отношении точка o делит bm. (в общем случае ответ дает теорема чевы (и ван-обеля), но в данном случае есть уникальная возможность сразу получить ответ.) я продлеваю сторону ab за точку b до точки d, так, что ab = bd; точку d я соединяю с вершиной c. в треугольнике adc bm - средняя линия, то есть bm ii dc; кроме того, отрезок cb играет роль медианы. поскольку bk: kc = 1: 2; точка k - центроид треугольника adc (ну, проще говоря, точка пересечения медиан). поэтому ak - часть медианы adc (при продолжении ak за точку k эта прямая разделит dc пополам в точке, которую я обозначу n). само собой, это означает, что ak делит пополам и bm (там подобные треугольники anc и aom, and и aob, и cn = nd => mo = ob). итак, точка o делит bm пополам. (кажется, я так длинно изложил, но "в голове" это всего один шажок). дальше все просто - из полученного следует, что от точки o до bc расстояние в 2 раза меньше, чем от точки m до bc. и bk = bc/3; поэтому площадь bok равна (1/2)*(1/3) = 1/6 от площади bmc; (ну, высота к основанию меньше в 2 раза, а само основание - в 3, роль "основания" играют bc и bk) а площадь bmc составляет 1/2 от площади abc (аналогично предыдущему замечанию в скобках, только тут "основания" - am  и ac, а высота  - расстояние от b до aс, в этом случае высота общая) ответ 1/12

Расстояние между ними это основание куба т.е. 1