Сократите дробь (x^3+4x^2-9x-36)/(x^3+2x^2-11x-12)

(x^3+4x^2-9x-36)/(x^3+2x^2-11x-12)

разложим числитель на множители:

x^3+4x^2-9x-36= (x^3++36)=x^2(x+4)-9(x+4)=(x^2-9)(x+4)=(x-3)(x+3)(x+4)

разложим знаменатель на множители:

x^3+2x^2-11x-12

попробуем подобрать число, при подстановке которого наше выражение равно нулю. первое такое число "-1". разделим наш знаменатель на х+1:

x^3+2x^2-11x-12  | x+1

x^3 +x^2                              x^2+x-12

            x^2 -11x

            x^2 + x

                        -12x-12

                        -12x-12

                                        0

мы получили квадратное уравнение х^2+x-12,

корнями которого будут числа "3" и "-4".

итак, x^3+2x^2-11x-12=(х+1)(х-3)(х+4)

наша дробь примет вид (x-3)(x+3)(x+4)/(х+1)(х-3)(х+4)=(х+3)/(х+1)

вспомним саму теорему:

если многочлен p(x) разделить на двучлен  x  -  a, то в остатке получим число  r, равное значению данного многочлена при  x  =  a, т. е.  r  =  p(a).

рассмотрим первый многочлен

x³+4x²-9x-36

если остаток нулевой, то x=a будет корнем

для поиска корней, воспользуемся следствием из этой теоремы, то что любой целый корень  уравнения  с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена. (±1,  ±2,  ±3,  ±4, ±6 и т.д.)

составим схему

вкратце об этой схеме: в верхней строке выписывваете коэффициенты, начиная со старшей степени x, в левой колонке вписываете предполагаемый корень. первые два корня опущу (они не подходят, можете проверить на этой схеме). далее первый коэффициент просто переписываете, следующий коэфф-т получается умножением корня на предыдущий коэфф-т(в той же строчке, что и сам корень) и сложением с коэфф-том в верхней строчки, т.е.

3*1+4 = 7 

3*7+(-9) = 12 

3*12-36 = 0, т.е. 3 - это корень. 

|_1__|__4__|||

    3 |   1     |   7     |   12     |     0       |

    получили  x³+4x²-9x-36 = (x-3)(x²+7x+12)

корни квадратного трехчлена, можно найти также по схеме или же продолжить искать корни в той же схеме

|_1_|_7_|_12_|

-3   |   1   | 4   | 0

(x²+7x+12) = (x-3)(x-4)

x³+4x²-9x-36 = (x-3)(x+3)(x-4)

второй многочлен

x³+2x²-11x-12 (±1,  ±2,  ±3,  ±4,  ±6,  ±12)

если дробь сокращается, то корни должны совпадать

|_1_|_2_|_-11_|_-12_|

  3     |   1   | 5   |   4     |   0     |

x³+2x²-11x-12 = (x-3)(x²+5x+4)

|_1_|_5_|_4_|

  -1   | 1   | 4   | 0   |

x³+2x²-11x-12 = (x-3)(x-1)(x-4)