Построить и записать алгоритм вычисления cos(x) для действительного числа x с точностью ε с использованием рекурсии

Cos(2x) = 2 cos(x) cos(x) - 1 cos(x) = 1 - x^2/2 + x^4/24 - x^6/720 + 1 - cos(2x) = 2 sin(x) sin(x) sin(x) < 2 x / pi | 1 - cos(2x) | < 2 (2x/pi)^2 = 8 x^2 / pi^2 если x^2 < pi^2 eps / 8, то |1-cos(2x)|< eps предложение: делаем рекурсивный спуск по формуле cos(x)=2cos(x/2)^2 - 1, пока x > pi sqrt(eps)/2, затем возвращаем 1-x^2/2. оценка x < pi sqrt(eps)/2 делалась для неравенства |1 - cos(x)| < eps, но возвращаем не просто 1, а 1-x^2/2 — до квадратичного члена, то есть с большей точностью. кстати, pi/2 < 2. код javascript function cos1(x, eps) {   if(math.abs(x) < 2*math.sqrt(eps)) return (1-x*x/2);   var c = cos1(x/2, eps);   return (2*c*c - 1); } cos(0.5, 0.001); внимательно посмотрев на эту реализацию, можно увидеть хвостовую рекурсию, которую можно представить в виде цикла, что предпочтительнее, потому что не требует памяти под стек вызовов и потому является быстрее. но это выходит за пределы рассматриваемой . p.s. оценка рядом маклорена-тейлора при малых аргументах предпочтительнее: сходится быстрее. другой вариант можно посчитать по ряду тейлора, стандартно превратив итерацию в хвостовую рекурсию. для этого используется функция, которой в качестве дополнительных (по сравнению с изначальной функцией) аргументов все величины, которые хочется помнить (в данном случае номер члена i, очередной член a и вычисленную сумму s). код haskell cos' eps x = helper 1 1 0       where helper i a s               | abs a < eps   = s               | otherwise     = helper (i + 2) newa (s + a)                   where newa = - a * x^2 / (i * (i + 1)) ряд тейлора в данном случае удовлетворяет признаку лейбница (ну, с оговорками), поэтому можно останавливаться, когда очередной член стал меньше эпсилона. код javascript< script type="text/javascript"> function cosine(x,eps) {     function costaylor(x,n,an)       {         var an1 = (-1)*an*x*x/(2*n*(2*n-1));             if (math.abs(an1) < eps) return an + an1;         else               { return an + costaylor(x,n+1,an1); }       }       return costaylor(x,1,1); } < /script>   < button onclick="alert( cosine(0.75,0.001) )"> пример для x=0.75 и eps=0.001< /button>

1)практичный 2)повышает продуктивность работы 3)удобный 4) состредоточиться на работе