При каких а уравнение:
a(2a+4)x^2-(a+2)x-5a-10=0
имеет больше, чем одно решение?

буду сильно

ответ: a ∈ (-1/40; 0)∪(0; +∞)∪{-2}.

пошаговое объяснение: рассмотрим отдельно случай, когда а = 0. имеем следующее уравнение: -2x = 10, имеющее единственный корень. данное значение а нам не подходит.

пусть а = -2. имеем следующее уравнение:

0x² - (0+2)x +10 - 10 = 0;     10 = 10 ⇒ x - любое число. корней бесконечно много, поэтому это значение параметра нам подходит.

если а ≠ 0, то уравнение - квадратное и имеет больше одного корня, если его дискриминант d > 0.

найдем дискриминант:

d = (-(a+2))² - 4a(2a + 4)(-5a - 10) = a² + 4a + 4 + 4a(2a + 4)(5a + 10) = a²+ 4a + 4 + 4a(10a² + 20a + 20a + 40) = a² + 4a + 4 + 40a³ + 160a² + 160a = 40a³ + 161a² + 164a + 4 > 0.

40a³ + 161a² + 164a + 4 > 0

40a³ + a² + 160a² + 4a + 160a + 4 > 0

a²(40a + 1 ) + 4a(40a + 1) + 4(40a + 1) > 0

(40a + 1)(a² + 4a + 4)> 0

(40a + 1)(a + 2)²> 0

40a+ 1 > 0 ⇒ a > -1/40.

не забываем про a = -2 и а = 0, записываем ответ: a ∈ (-1/40; 0)∪(0; +∞)∪{-2}.

Объясню на 1 примере, у нас есть 7^2, соответсвенно из под корня мы можем вынести просто 7, и останется 7 корень из 3.
3*2^4. два корня из 4 это все равно что 16, а 16 в квадрате это 4, ее выносим остаётся 4 корня из 3.
при перемножении двух одинаковых корней остаётся просто число, то есть корень из трёх умножить на корень из трёх равно 3. и потом легко перемножаешь 7*4*3=84